投资组合理论

设两资产 \(A\)、\(B\) 的参数为 \(\sigma_A=18\%,\;\sigma_B=30\%\)；权重 \(\omega_A=0.6,\;\omega_B=0.4\)。

计算。 由 式（3.2）： \begin{align*} \sigma_p^{2} &= 0.6^{2}\times 0.18^{2} + 0.4^{2}\times 0.30^{2} + 2\times 0.6\times 0.4\times \rho\times 0.18\times 0.30\\ &= 0.01166 + 0.01440 + 0.02592\rho\\ &= 0.02606 + 0.02592\rho. \end{align*} 代入 4 种 \(\rho\) 值：\(\rho=1\) 时 \(\sigma_p=22.8\%\)（仅是加权平均）；\(\rho=0.5\) 时 \(\sigma_p=19.8\%\)；\(\rho=0\) 时 \(\sigma_p=16.1\%\)；\(\rho=-1\) 时 \(\sigma_p=1.2\%\)。

启示。 当 \(\rho<1\) 时，\(\sigma_p\) 始终低于加权平均（22.8%）；\(\rho\) 越低，分散化越有效。需要注意，\(\rho=-1\) 并不自动等于零方差，只有权重刚好使两项风险暴露互相抵消时，才可以构造零方差组合。这就是后续 CAPM 中“市场组合与无风险资产”的预演。

设两项风险资产的标准差分别为 \(\sigma_A=10\%\)、\(\sigma_B=20\%\)，相关系数 \(\rho_{AB}=0.2\)。两资产 GMV 可以直接对 \(\omega_A\) 求导得到： \[ \begin{aligned} \omega_A^{\mathrm{GMV}} &=\frac{\sigma_B^2-\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B} {\sigma_A^2+\sigma_B^2-2\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B} =\frac{0.04-0.004}{0.01+0.04-0.008} \approx 85.7\%,\\ \omega_B^{\mathrm{GMV}}&\approx 14.3\%. \end{aligned} \] 代回 式（3.2）： \[ \sigma_{\mathrm{GMV}} =\sqrt{0.857^2\times0.10^2+0.143^2\times0.20^2+2\times0.857\times0.143\times0.004} \approx 9.56\%. \] 这个结果低于单独持有低波动资产 \(A\) 的 10%，说明只要相关系数低于 1，哪怕加入的是更高波动资产，也可能通过协方差项降低组合总风险。这正是 GMV 的经济直觉：它不是找“最低风险单品”，而是找风险暴露最会互相抵消的一组权重。

某市场无风险利率 \(R_f=3\%\)，切点组合 \(M\) 的预期收益 \(E[R_m]=10\%\)、标准差 \(\sigma_m=18\%\)。

由 式（3.10），CML 方程为： \[E[R_c] = 0.03 + \frac{0.10-0.03}{0.18}\,\sigma_c = 0.03 + 0.389\,\sigma_c.\]

每承担 1 个百分点波动率，切点组合补偿约 0.39 个百分点超额收益（夏普比率 \(=0.39\)）。在均衡解释中，这可理解为对全市场所有投资者一致的“风险价格”，它不取决于任何单个投资者的偏好。后面“分离特性”正是基于这一点。

延续上一例的市场参数：\(R_f=3\%,\;E[R_m]=10\%,\;\sigma_m=18\%\)。

保守型投资者 \(A=4\)：由 式（3.13）， \[\omega_m^{*}=\frac{0.10-0.03}{4\times 0.18^{2}}=\frac{0.07}{0.1296}\approx 0.54.\] 即把 54% 资金投入切点组合、46% 投入无风险资产。组合预期收益 \(0.46\times 0.03+0.54\times 0.10 = 6.8\%\)，波动率 \(0.54\times 18\% = 9.7\%\)。

激进型投资者 \(A=2\)：\(\omega_m^{*}=\frac{0.07}{0.0648}\approx 1.08\)。即借入 8% 无风险资金，加杠杆持有 108% 切点组合。组合预期收益 \(1.08\times 0.10-0.08\times 0.03=10.6\%\)，波动率 \(1.08\times 18\%=19.4\%\)。

启示。 均值-方差最优解给出的不是“持有还是不持有”，而是“持有多少、是否借入”。这正是后续杠杆 ETF、保证金账户、结构化产品等金融工具的理论基础，但现实中的融资利率、保证金比例和监管约束会使最优杠杆低于这个简化模型的结果。